3.260 \(\int \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^4(x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=89 \[ -\frac{1}{2} \sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )+\frac{1}{2} \sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{a+b \tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )-\frac{1}{2} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)} \]

[Out]

-(Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x]^2)/Sqrt[a + b*Tanh[x]^4]])/2 + (Sqrt[a + b]*ArcTanh[(a + b*Tanh[x]^2)/(Sqrt
[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])])/2 - Sqrt[a + b*Tanh[x]^4]/2

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.128402, antiderivative size = 89, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 7, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.467, Rules used = {3670, 1248, 735, 844, 217, 206, 725} \[ -\frac{1}{2} \sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )+\frac{1}{2} \sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{a+b \tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )-\frac{1}{2} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4],x]

[Out]

-(Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x]^2)/Sqrt[a + b*Tanh[x]^4]])/2 + (Sqrt[a + b]*ArcTanh[(a + b*Tanh[x]^2)/(Sqrt
[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])])/2 - Sqrt[a + b*Tanh[x]^4]/2

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 1248

Int[(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2, Subst[Int[(d + e*x)^q
*(a + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x]

Rule 735

Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((d + e*x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^p)/(
e*(m + 2*p + 1)), x] + Dist[(2*p)/(e*(m + 2*p + 1)), Int[(d + e*x)^m*Simp[a*e - c*d*x, x]*(a + c*x^2)^(p - 1),
x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && ( !Ration
alQ[m] || LtQ[m, 1]) &&  !ILtQ[m + 2*p, 0] && IntQuadraticQ[a, 0, c, d, e, m, p, x]

Rule 844

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[g/e, Int[(d
+ e*x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^p, x], x] + Dist[(e*f - d*g)/e, Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a,
c, d, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IGtQ[m, 0]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 725

Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> -Subst[Int[1/(c*d^2 + a*e^2 - x^2), x], x,
(a*e - c*d*x)/Sqrt[a + c*x^2]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^4(x)} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x \sqrt{a+b x^4}}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x^2}}{1-x} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac{1}{2} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)}-\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{-a-b x}{(1-x) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac{1}{2} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)}-\frac{1}{2} (-a-b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )-\frac{1}{2} b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac{1}{2} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)}-\frac{1}{2} b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )-\frac{1}{2} (a+b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b-x^2} \, dx,x,\frac{-a-b \tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )\\ &=-\frac{1}{2} \sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )+\frac{1}{2} \sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{a+b \tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )-\frac{1}{2} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.0572947, size = 86, normalized size = 0.97 \[ \frac{1}{2} \left (-\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )+\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{a+b \tanh ^2(x)}{\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \tanh ^4(x)}}\right )-\sqrt{a+b \tanh ^4(x)}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4],x]

[Out]

(-(Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x]^2)/Sqrt[a + b*Tanh[x]^4]]) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(a + b*Tanh[x]^2)/(Sqrt[a
+ b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])] - Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])/2

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.052, size = 116, normalized size = 1.3 \begin{align*} -{\frac{1}{2}\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{4}}}-{\frac{1}{2}\sqrt{b}\ln \left ( 2\,\sqrt{b} \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}+2\,\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{4}} \right ) }+{\frac{a}{2}{\it Artanh} \left ({\frac{2\,b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}+2\,a}{2}{\frac{1}{\sqrt{a+b}}}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{4}}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{a+b}}}}+{\frac{b}{2}{\it Artanh} \left ({\frac{2\,b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}+2\,a}{2}{\frac{1}{\sqrt{a+b}}}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{4}}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{a+b}}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)*(a+b*tanh(x)^4)^(1/2),x)

[Out]

-1/2*(a+b*tanh(x)^4)^(1/2)-1/2*b^(1/2)*ln(2*b^(1/2)*tanh(x)^2+2*(a+b*tanh(x)^4)^(1/2))+1/2*a/(a+b)^(1/2)*arcta
nh(1/2*(2*b*tanh(x)^2+2*a)/(a+b)^(1/2)/(a+b*tanh(x)^4)^(1/2))+1/2*b/(a+b)^(1/2)*arctanh(1/2*(2*b*tanh(x)^2+2*a
)/(a+b)^(1/2)/(a+b*tanh(x)^4)^(1/2))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \tanh \left (x\right )^{4} + a} \tanh \left (x\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)*(a+b*tanh(x)^4)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*tanh(x)^4 + a)*tanh(x), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.128, size = 15323, normalized size = 172.17 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)*(a+b*tanh(x)^4)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^
3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a + 2*b)*sinh(x
)^8 + 4*(a - 2*b)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a + 2*b)*cosh(x)^3 + 3*(a
- 2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a + 2*b)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a + 2*b)*cosh(x)^4 + 30*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 3*a +
6*b)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a + 2*b)*cosh(x)^5 + 10*(a - 2*b)*cosh(x)^3 + 3*(a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a -
2*b)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a + 2*b)*cosh(x)^6 + 15*(a - 2*b)*cosh(x)^4 + 9*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^
2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(
cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)^2 +
2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh
(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + 8*((a + 2*b)*cosh(x)^7 + 3*(a - 2*b)*cosh(x)^5 + 3*(a + 2*b)*cosh(
x)^3 + (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^8 + 8*cosh(x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 + 1
)*sinh(x)^6 + 4*cosh(x)^6 + 8*(7*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*cosh(x)^4 + 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x
)^4 + 6*cosh(x)^4 + 8*(7*cosh(x)^5 + 10*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 + 15*cosh(x)^4 + 9*c
osh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)^2 + 8*(cosh(x)^7 + 3*cosh(x)^5 + 3*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + (c
osh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh
(x))*sinh(x) + 1)*sqrt(a + b)*log(((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (
a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - b^2)*sinh(
x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*cosh(
x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(
7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 - b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a
^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 - b^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2
)*cosh(x)^2 + a^2 - b^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x
)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x)
)*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b
)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*c
osh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(x)^
5 + (3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cos
h(x)^2*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) - 2*sqrt(2)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 +
4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sin
h(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4
+ 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1), -1/4*(2*(cosh(x)^4 + 4*
cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x)
+ 1)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a -
b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) +
a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2
+ 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh
(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b +
b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a
^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2
+ 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 6*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b
^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 - b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2
+ 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 - b^2)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - b^2)
*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(x)^5 + 3*(a^2 + 2*a*b +
b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) - (cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)
^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*cosh(x)^8 + 8*(
a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a + 2*b)*sinh(x)^8 + 4*(a - 2*b)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)
*sinh(x)^6 + 8*(7*(a + 2*b)*cosh(x)^3 + 3*(a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a + 2*b)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a + 2*
b)*cosh(x)^4 + 30*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 3*a + 6*b)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a + 2*b)*cosh(x)^5 + 10*(a - 2*b)*cosh(x)
^3 + 3*(a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a + 2*b)*cosh(x)^6 + 15*(a - 2*b)*cosh(x)^
4 + 9*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3
*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4
+ (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(
x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + 8*((a + 2*b)*cosh(x)^
7 + 3*(a - 2*b)*cosh(x)^5 + 3*(a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^8 + 8*cosh(
x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^6 + 4*cosh(x)^6 + 8*(7*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^5
+ 2*(35*cosh(x)^4 + 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)^4 + 8*(7*cosh(x)^5 + 10*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*si
nh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 + 15*cosh(x)^4 + 9*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)^2 + 8*(cosh(x)^7 + 3*cosh(x)^
5 + 3*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*c
osh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cos
h(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh
(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1), 1/4*(2*(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(
x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)*sqrt(-b)
*arctan(sqrt(2)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh
(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)
*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/(b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 - 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2
- b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 - b*cosh(x))*sinh(x) + b)) + (cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2
*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)*sqrt(a + b)*log(((a^2 + 2*a*
b + b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 - b^2)*c
osh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*
(a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 3
0*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 - b^
2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)
*cosh(x)^6 + 15*(a^2 - b^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - b^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(
(a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(
x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*c
osh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b
)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b +
b^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 -
b^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(
x)^4)) - 2*sqrt(2)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2
+ 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(
x)^3 + sinh(x)^4)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2
+ 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1), -1/2*((cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 +
1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*((a + b)*cosh(x
)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*
sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a
+ b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4
- 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)
^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*
(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - b^2)*cosh
(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 - b^2)*cosh(x
)^2 + 3*a^2 + 6*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 - b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^
2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 -
b^2)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 8*((a^2 + 2*a*b
+ b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(x)^5 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x)))
- (cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 +
cosh(x))*sinh(x) + 1)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b
)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*
cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/(b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 - 2
*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 - b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 - b*cosh(x))*sinh(x) + b)) + sqrt(2)*sqrt(((a
+ b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a
+ 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/(cosh(x)
^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*s
inh(x) + 1)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a + b \tanh ^{4}{\left (x \right )}} \tanh{\left (x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)*(a+b*tanh(x)**4)**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*tanh(x)**4)*tanh(x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \tanh \left (x\right )^{4} + a} \tanh \left (x\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)*(a+b*tanh(x)^4)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(b*tanh(x)^4 + a)*tanh(x), x)